Alle Messungen, einschließlich Ultraschallmessungen, jedoch sorgfältig und wissenschaftlich, unterliegen einigen Unsicherheiten. Fehleranalyse ist die Untersuchung und Bewertung dieser Unsicherheiten, deren zwei Hauptfunktionen darin bestehen, dem Praktiker zu erlauben, zu schätzen, wie groß die Unsicherheiten sind und ihm oder ihr helfen, sie bei Bedarf zu reduzieren. Weil Ultraschall von Messungen abhängt, ist die Bewertung und Minimierung von Unsicherheiten entscheidend. In der Wissenschaft bedeutet das Wort Fehler nicht, Fehler oder Fehler, sondern die unvermeidliche Unsicherheit aller Messungen. Weil sie nicht vermieden werden können, sind Fehler in diesem Zusammenhang nicht, streng genommen, Fehler. Im besten Fall können sie so klein wie möglich gemacht werden, und ihre Größe kann zuverlässig geschätzt werden. Um das unvermeidliche Auftreten von Unsicherheiten um die Versuche der Messung zu veranschaulichen, betrachten wir einen Schreiner, der die Höhe einer Tür zu einem Röntgengewölbe messen muss, um eine Tür zu installieren. Als erste grobe Messung könnte sie einfach auf die Tür schauen und schätzen, dass es 210 cm hoch ist. Diese grobe Messung ist sicherlich der Unsicherheit unterworfen. Wenn gedrückt, könnte der Schreiner diese Ungewissheit ausdrücken, indem er zugeben kann, dass die Höhe so klein wie 205 oder so viel wie 215 cm sein könnte. Wenn sie eine genauere Messung wünschte, würde sie ein Maßband verwenden, und sie könnte feststellen, dass die Höhe 211,3 cm beträgt. Diese Messung ist sicherlich genauer als ihre ursprüngliche Schätzung, aber sie ist offensichtlich immer noch einer gewissen Unsicherheit ausgesetzt, da es unvorstellbar ist, dass sie die Höhe kennen könnte, um genau 211.3000 anstatt 211.3001 cm zu sein, zum Beispiel. Es gibt viele Gründe für diese verbleibende Ungewissheit. Einige dieser Ursachen der Ungewissheit konnten entfernt werden, wenn genügend Sorgfalt genommen wurde. Zum Beispiel könnte eine Quelle der Ungewissheit sein, dass eine schlechte Beleuchtung es schwierig macht, das Band zu lesen, das durch eine verbesserte Beleuchtung korrigiert werden könnte. Auf der anderen Seite sind einige Quellen der Ungewissheit dem Messprozess eigen und können niemals vollständig entfernt werden. Zum Beispiel wollen wir annehmen, dass das Schreinerband in halb Zentimeter abgestuft ist. Die Oberseite der Tür wird wahrscheinlich nicht genau mit einer der halb Zentimeter-Markierungen zusammenfallen, und wenn es nicht geht, dann muss der Tischler genau dort schätzen, wo die Oberseite zwischen zwei Markierungen liegt. Auch wenn die Oberseite mit einer der Markierungen übereinstimmt, ist die Marke selbst vielleicht ein Millimeter breit, also muss sie genau abschätzen, wo die Oberseite innerhalb der Marke liegt. In jedem Fall muss der Schreiner letztlich abschätzen, wo die Oberseite der Tür relativ zu den Markierungen auf ihrem Band liegt, und diese Notwendigkeit verursacht einige Ungewissheit in ihrer Antwort. Durch den Kauf eines besseren Bandes mit näheren und feineren Markierungen kann der Tischler ihre Ungewissheit reduzieren, aber sie kann es nicht ganz beseitigen. Wenn sie zwanghaft entschlossen ist, die Höhe der Tür mit der höchsten Präzision zu finden, die technisch möglich ist, könnte sie ein teures Laserinterferometer kaufen. Aber auch die Genauigkeit eines Interferometers ist auf Distanzen in der Größenordnung der Wellenlänge des Lichts (ca. 0,000005 Meter) beschränkt. Obwohl sie jetzt in der Lage wäre, die Höhe mit fantastischer Präzision zu messen, würde sie immer noch nicht genau die Höhe der Tür kennen. Da der Schreiner nach größerer Präzision strebt, begegnet sie einem wichtigen Grundprinzip. Sie wird sicherlich feststellen, dass die Höhe an verschiedenen Orten anders ist. Sogar an einem Ort wird sie feststellen, dass die Höhe variiert, wenn die Temperatur und die Feuchtigkeit variieren, oder auch wenn sie versehentlich eine dünne Schicht von Schmutz abreißt. Mit anderen Worten, sie wird feststellen, dass es keine genaue Höhe der Tür gibt. Diese Art von Problem wird als Problem der Definition (die Höhe der Tür ist nicht gut definiert und spielt eine wichtige Rolle in vielen wissenschaftlichen Messungen). Unsere Tischlererfahrungen veranschaulichen, was im Allgemeinen wahr ist. Keine physikalische Größe (eine Dicke, Zeit zwischen Puls-Echos, eine Wandlerposition usw.) kann mit voller Sicherheit gemessen werden. Mit Sorgfalt können wir in der Lage sein, die Unsicherheiten zu reduzieren, bis sie extrem klein sind, aber um sie vollständig zu eliminieren, ist unmöglich. Bei alltäglichen Messungen geht es uns normalerweise nicht darum, Unsicherheiten zu besprechen. Manchmal sind die Unsicherheiten einfach nicht interessant. Wenn wir sagen, dass die Distanz zwischen Haus und Schule 3 Meilen ist, ist es egal (für die meisten Zwecke), ob dies zwischen 2,5 und 3,5 Meilen oder irgendwo zwischen 2.99 und 3.01 Meilen bedeutet. Oft sind die Unsicherheiten wichtig, können aber instinktiv und ohne explizite Betrachtung zugelassen werden. Wenn unser Schreiner kommt, um ihre Tür zu passen, muss sie ihre Höhe mit einer Ungewissheit kennen, die weniger als 1 mm oder so ist. Allerdings, solange die Ungewissheit ist diese kleine, wird die Tür (für alle praktischen Zwecke) eine perfekte Passform, Röntgenstrahlen werden nicht auslaufen, und ihre Sorge mit Fehleranalyse wird zu einem Ende kommen. Experimentelle Fehler und dieses Kapitel Ist weitgehend ein Tutorial zur Handhabung von experimentellen Messfehlern. Ein Großteil des Materials wurde intensiv mit wissenschaftlichen Studenten auf einer Vielzahl von Ebenen an der Universität von Toronto getestet. Ganze Bücher können und wurden zu diesem Thema geschrieben, aber hier destillieren wir das Thema bis ins Wesentliche. Dennoch ist unsere Erfahrung, dass für Anfänger eine iterative Annäherung an dieses Material am besten funktioniert. Dies bedeutet, dass die Benutzer zuerst das Material in diesem Kapitel scannen und dann versuchen, das Material auf ihrem eigenen Experiment zu verwenden und dann über das Material wieder zu gehen. EDA bietet Funktionen, um die Berechnungen zu erleichtern, die für die Ausbreitung von Fehlern erforderlich sind, und diese Funktionen werden in Abschnitt 3.3 eingeführt. Diese Fehlerfortpflanzungsfunktionen sind in Abschnitt 3.5 zusammengefasst. 3.1.1 Der Zweck der Fehleranalyse Für Studierende, die nur Vorträge besuchen und Lehrbücher in den Wissenschaften lesen, ist es leicht, den falschen Eindruck zu erwecken, dass die physikalischen Wissenschaften mit der Manipulation präziser und perfekter Zahlen beschäftigt sind. Vorlesungen und Lehrbücher enthalten oft Phrasen wie: Ein Teilchen, das unter den Einfluss der Schwerkraft fällt, unterliegt einer konstanten Beschleunigung von 9,8 m. Ob. Für einen experimentellen Wissenschaftler ist diese Spezifikation unvollständig. Bedeutet dies, dass die Beschleunigung näher bei 9,8 liegt als 9,9 oder 9,7 bedeutet es, dass die Beschleunigung näher bei 9.80000 liegt als auf 9.80001 oder 9.79999 Oft hängt die Antwort vom Kontext ab. Wenn ein Tischler sagt, dass eine Länge nur 8 Zoll ist, bedeutet das wahrscheinlich, dass die Länge näher an 8 016 in. Als auf 8 116 in. Oder 7 1516 in. Wenn ein Maschinist sagt, dass eine Länge nur 200 Millimeter ist, bedeutet das wahrscheinlich, dass es näher ist 200,00 mm als 200,05 mm oder 199,95 mm. Wir alle wissen, dass die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft von Ort zu Ort auf der Erdoberfläche variiert. Es variiert auch mit der Höhe über der Oberfläche, und Gravitationszähler, die in der Lage sind, die Abweichung vom Boden zu einer Tischplatte zu messen, sind leicht verfügbar. Ferner kann jede physikalische Maßnahme, wie z. B. g, nur durch ein Experiment bestimmt werden, und da ein vollkommener experimenteller Apparat nicht existiert, ist es auch im Prinzip unmöglich, jemals richtig zu kennen. Somit ist die oben genannte Spezifikation von g nur als eine mögliche Übung für einen Schüler nützlich. Um ihm einen Sinn zu geben, muss es auf etwas wie folgt geändert werden: Ein 5-g-Kugellager, der unter dem Einfluss der Schwerkraft in Raum 126 von McLennan Physical Laboratories der Universität von Toronto am 13. März 1995 in einem Abstand von 1,0 plusmn 0,1 fällt M über dem Boden wurde gemessen, um einer konstanten Beschleunigung von 9,81 plusmn 0,03 m unterworfen zu werden. Zwei Fragen ergeben sich aus der Messung. Erstens, ist es genau, mit anderen Worten, hat das Experiment richtig funktioniert und wurden alle notwendigen Faktoren berücksichtigt Die Antwort darauf hängt von der Fähigkeit des Experimentators bei der Identifizierung und Beseitigung aller systematischen Fehler. Diese werden in Abschnitt 3.4 besprochen. Die zweite Frage betrachtet die Präzision des Experiments. In diesem Fall ist die Präzision des Ergebnisses gegeben: Der Experimentator behauptet, dass die Genauigkeit des Ergebnisses innerhalb von 0,03 ms liegt. Die nächsten beiden Abschnitte gehen ausführlich darüber, wie die Genauigkeit einer Messung bestimmt wird. Allerdings sind folgende Punkte wichtig: 1. Die Person, die die Messung gemacht hat, hatte wahrscheinlich ein Gefühl für die Präzision und hängte einen Fehler auf das Ergebnis, um dieses Gefühl zu anderen Menschen zu vermitteln. Der gesunde Menschenverstand sollte immer Vorrang vor mathematischen Manipulationen haben. 2. In komplizierten Experimenten kann die Fehleranalyse dominante Fehler identifizieren und somit einen Leitfaden geben, wo mehr Anstrengungen erforderlich sind, um ein Experiment zu verbessern. 3. Es gibt praktisch keinen Fall in den experimentellen physikalischen Wissenschaften, wo die korrekte Fehleranalyse das Ergebnis mit einer Zahl in irgendeinem Buch vergleichen soll. Ein korrektes Experiment ist eine, die korrekt durchgeführt wird, nicht eine, die ein Ergebnis in Übereinstimmung mit anderen Messungen gibt. 4. Die beste Präzision, die für ein gegebenes Experiment möglich ist, ist immer durch das Gerät begrenzt. Polarisationsmessungen in der Hochenergiephysik erfordern Zehntausende von Person-Stunden und kosten Hunderte von Tausend Dollar zu erfüllen, und eine gute Messung ist innerhalb eines Faktors von zwei. Elektrodynamische Experimente sind wesentlich günstiger und ergeben oft 8 oder mehr signifikante Zahlen. In beiden Fällen muss der Experimentator mit der Ausrüstung kämpfen, um die genaueste und genaueste Messung zu erhalten. 3.1.2 Verschiedene Arten von Fehlern Wie oben erwähnt, gibt es zwei Arten von Fehlern, die mit einem experimentellen Ergebnis verbunden sind: die Genauigkeit und die Genauigkeit. Ein bekannter Text erklärt den Unterschied auf diese Weise: Die Wortpräzision wird mit der zufälligen Fehlerverteilung in Verbindung gebracht, die mit einem bestimmten Experiment oder sogar mit einer bestimmten Art von Experiment verbunden ist. Die Wortgenauigkeit bezieht sich auf die Existenz von systematischen Fehlern zwischen den Laboratorien, zum Beispiel. Zum Beispiel könnte man sehr präzises, aber ungenaues Timing mit einer hochwertigen Pendeluhr durchführen, bei der das Pendel nicht ganz richtig eingestellt war. E. M. Pugh und G. H. Winslow, p. 6. Das Ziel eines guten Experiments ist es, sowohl die Fehler der Präzision als auch die Fehler der Genauigkeit zu minimieren. Normalerweise hat ein gegebenes Experiment eine oder die andere Art von Fehler dominant, und der Experimentator widmet die meisten Anstrengungen, um diese zu reduzieren. Zum Beispiel, bei der Messung der Höhe einer Stichprobe von Geranien, um einen Mittelwert zu bestimmen, werden die zufälligen Variationen innerhalb der Stichprobe von Pflanzen wahrscheinlich viel größer sein als jede mögliche Ungenauigkeit in dem verwendeten Lineal. Ähnlich für viele Experimente in den Biologie - und Lebenswissenschaften beunruhigt der Experimentator am meisten die Erhöhung der Präzision seiner Messungen. Natürlich werden einige Experimente in den Biologie - und Life-Sciences von Genauigkeitsfehlern dominiert. Andererseits ist bei der Titration einer Probe von HCl-Säure mit NaOH-Base unter Verwendung eines Phenolphthalein-Indikators der Hauptfehler bei der Bestimmung der ursprünglichen Konzentration der Säure wahrscheinlich eine der folgenden: (1) die Genauigkeit der Markierungen Auf der Seite der Bürette (2) der Übergangsbereich des Phenolphthaleinindikators oder (3) die Fähigkeit des Experimentators bei der Aufspaltung des letzten Tropfen NaOH. Somit ist die Genauigkeit der Bestimmung wahrscheinlich viel schlechter als die Präzision. Dies ist oft der Fall für Experimente in der Chemie, aber sicher nicht alle. Frage: Die meisten Experimente verwenden theoretische Formeln, und in der Regel sind diese Formeln Näherungen. Ist der Fehler der Näherung eine der Genauigkeit oder der Genauigkeit Es gibt umfangreiche Literatur zu den Themen in diesem Kapitel. Im Folgenden sind einige bekannte Einführungen aufgelistet. D. C. Baird, Experimentieren: Eine Einführung in die Messungstheorie und Experimentdesign (Prentice-Hall, 1962) E. M. Pugh und G. H. Winslow, The Analysis of Physical Measurements (Addison-Wesley, 1966) JR Taylor, eine Einführung in die Fehleranalyse (Universitätswissenschaftliche Bücher, 1982) Darüber hinaus gibt es ein Webdokument, das vom Autor von EDA geschrieben wurde, das verwendet wird, um dieses Thema zu unterrichten Zum ersten Jahr Physik-Studenten an der Universität von Toronto. Der folgende Hyperlink verweist auf dieses Dokument. 3.2 Bestimmung der Präzision 3.2.1 Die Standardabweichung Im neunzehnten Jahrhundert machten die Gauss-Assistenten astronomische Messungen. Allerdings konnten sie ihre Ergebnisse nicht genau wiederholen. Schließlich wurde Gauss wütend und stürmte in das Labor und behauptete, er würde diesen Leuten zeigen, wie man die Messungen ein für allemal durchführt. Das einzige Problem war, dass Gauss nicht in der Lage war, seine Messungen genau zu wiederholen. Nachdem er seine Fassung wiedererlangt hatte, machte Gauss ein Histogramm der Ergebnisse einer bestimmten Messung und entdeckte die berühmte Gaußsche oder Glockenform. Viele Völker erste Einführung in diese Form ist die Klasse Verteilung für einen Kurs. Hier ist ein Beispiel einer solchen Verteilung, mit der EDA-Funktion EDAHistogramm. Wir verwenden ein Standard-Mathematica-Paket, um eine Probability Distribution Function (PDF) einer solchen Gauß - oder Normalverteilung zu generieren. Der Mittelwert wird als 78 gewählt, und die Standardabweichung wird als 10 gewählt, wobei sowohl der Mittelwert als auch die Standardabweichung unten definiert sind. Dann normalisieren wir die Verteilung, so dass der Maximalwert in der Nähe der maximalen Anzahl im Histogramm liegt und das Ergebnis aufgibt. In diesem Diagramm ist der Mittelwert und ist die Standardabweichung. Schließlich betrachten wir das Histogramm und zeichnen sich zusammen. Wir können die funktionale Form der Gaußschen Verteilung sehen, indem wir die symbolischen Werte von NormalDistribution geben. In dieser Formel heißt die Menge der Mittelwert. Und wird als Standardabweichung bezeichnet. Der Mittelwert wird manchmal der Durchschnitt genannt. Die Definition von ist wie folgt. Hier ist n die Gesamtzahl der Messungen und xi ist das Ergebnis der Messzahl i. Die Standardabweichung ist ein Maß für die Breite des Peaks, was bedeutet, dass ein größerer Wert einen breiteren Peak ergibt. Wenn wir den Bereich unter der Kurve von - zu der Fläche zwischen den senkrechten Balken im GaussPlot-Diagramm betrachten, so finden wir, dass dieser Bereich 68 Prozent der Gesamtfläche beträgt. Somit hat jedes zufällige Ergebnis xi eine Änderung innerhalb einer Standardabweichung des Mittelwerts. Wir können dies durch die Auswertung des Integrals zeigen. Für die Bequemlichkeit wählen wir den Mittelwert, um Null zu sein. Jetzt numerieren wir dies und multiplizieren mit 100, um den Prozentsatz zu finden. Das einzige Problem mit dem obigen ist, dass die Messung unendlich oft wiederholt werden muss, bevor die Standardabweichung bestimmt werden kann. Wenn n weniger als unendlich ist, kann man nur abschätzen. Für n Messungen ist dies die beste Schätzung. Der Hauptunterschied zwischen dieser Schätzung und der Definition ist der im Nenner anstelle von n. Das ist vernünftig, denn wenn n 1 wir wissen, können wir gar nicht feststellen, denn mit nur einer Messung haben wir keine Möglichkeit zu bestimmen, wie genau eine wiederholte Messung das gleiche Ergebnis liefern könnte. Technisch ist die Menge die Anzahl der Freiheitsgrade der Messprobe. Hier ist ein Beispiel. Angenommen, wir wollen den Durchmesser eines kleinen Zylinders mit einem Mikrometer bestimmen. Wir wiederholen die Messung 10 mal an verschiedenen Punkten auf dem Zylinder und erhalten die folgenden Ergebnisse in Zentimeter. Die Anzahl der Messungen ist die Länge der Liste. Der Mittelwert oder der Mittelwert wird nun berechnet. Dann wird die Standardabweichung auf 0,00185173 geschätzt. Wir wiederholen die Berechnung im Funktionsstil. Beachten Sie, dass das Paket StatisticsDescriptiveStatistics, das Standard mit Mathematica ist. Beinhaltet Funktionen, um all diese Mengen zu berechnen und vieles mehr. Wir schließen mit zwei Punkten: 1. Die Standardabweichung wurde mit dem Fehler in jeder einzelnen Messung verbunden. Abschnitt 3.3.2 diskutiert, wie man den Fehler in der Schätzung des Durchschnitts findet. 2. Diese Berechnung der Standardabweichung ist nur eine Schätzung. In der Tat können wir den erwarteten Fehler in der Schätzung finden, (der Fehler in der Schätzung). Wie in Abschnitt 3.3 näher erörtert, bedeutet dies, dass die wahre Standardabweichung wahrscheinlich im Wertebereich liegt. Auf diese Weise gesehen, ist klar, dass die letzten Ziffern in den Zahlen oben für oder haben keine Bedeutung und sind daher nicht wirklich bedeutsam. Eine EDA-Funktion passt diese signifikanten Zahlen auf der Grundlage des Fehlers an. AdjustSignificantFigures wird weiter in Abschnitt 3.3.1 diskutiert. 3.2.2 Der Lesefehler Es gibt einen anderen Fehlertyp, der mit einer direkt gemessenen Größe verbunden ist, die als Lesefehler bezeichnet wird. Unter Bezugnahme auf das Beispiel von Abschnitt 3.2.1 wurden die Messungen des Durchmessers mit einem Mikrometer durchgeführt. Der jeweilige Mikrometer hatte Skalenteilungen alle 0,001 cm. Es war jedoch möglich, das Lesen des Mikrometers zwischen den Divisionen abzuschätzen, und dies wurde in diesem Beispiel durchgeführt. Aber es gibt einen Lesefehler, der mit dieser Schätzung verbunden ist. Beispielsweise beträgt der erste Datenpunkt 1.6515 cm. Könnte es um 1.6516 cm gewesen sein. Wie wäre es mit 1.6519 cm Es gibt keine feste Regel, um die Frage zu beantworten: Die Person, die die Messung macht, muss erraten, wie gut er oder sie das Instrument lesen kann. Eine vernünftige Vermutung des Lesefehlers dieses Mikrometers könnte an einem guten Tag 0,0002 cm betragen. Wenn der Experimentator spät in der Nacht zuvor war, könnte der Lesefehler 0,0005 cm betragen. Eine wichtige und manchmal schwierige Frage ist, ob der Lesefehler eines Instruments zufällig verteilt wird. Zufällige Lesefehler werden durch die endliche Genauigkeit des Experiments verursacht. Wenn ein Experimentator konsequent den Mikrometer 1 cm niedriger als der tatsächliche Wert liest, dann ist der Lesefehler nicht zufällig. Für ein digitales Instrument ist der Lesefehler plus die Hälfte der letzten Ziffer. Beachten Sie, dass dies davon ausgeht, dass das Gerät ordnungsgemäß konstruiert wurde, um einen Messwert korrekt auf dem Display zu runden. Bisher haben wir zwei verschiedene Fehler gefunden, die mit einer direkt gemessenen Größe verbunden sind: die Standardabweichung und den Lesefehler. Also, welcher ist der eigentliche eigentliche Fehler der Präzision in der Menge Die Antwort ist beide Aber glücklicherweise ist es fast immer heraus, dass man größer sein wird als der andere, so dass die kleineren der beiden ignoriert werden können. In dem in diesem Abschnitt verwendeten Durchmesserbeispiel wurde festgestellt, daß die Schätzung der Standardabweichung 0,00185 cm betrug, während der Lesefehler nur 0,0002 cm betrug. So können wir die Standardabweichungsschätzung verwenden, um den Fehler bei jeder Messung zu charakterisieren. Eine andere Art, das Gleiche zu sagen, ist, dass die beobachtete Ausbreitung von Werten in diesem Beispiel nicht durch den Lesefehler erklärt wird. Wenn die beobachtete Ausbreitung mehr oder weniger durch den Lesefehler erklärt würde, wäre es nicht notwendig, die Standardabweichung abzuschätzen, da der Lesefehler der Fehler bei jeder Messung wäre. Natürlich bezieht sich alles in diesem Abschnitt auf die Präzision des Experiments. Die Diskussion über die Genauigkeit des Experiments ist in Abschnitt 3.4. 3.2.4 Ablehnung von Messungen Häufig, wenn man die Messungen wiederholt, scheint ein Wert falsch zu sein, und wir möchten ihn herauswerfen. Auch wenn man eine Reihe von Messungen, manchmal ein Wert erscheint aus der Zeile. Hier diskutieren wir einige Leitlinien zur Ablehnung von Messungen, weitere Informationen finden sich in Kapitel 7. Es ist wichtig zu betonen, dass das gesamte Thema der Ablehnung von Messungen umständlich ist. Einige Wissenschaftler glauben, dass die Ablehnung von Daten niemals gerechtfertigt ist, es sei denn, es gibt äußere Hinweise darauf, dass die fraglichen Daten nicht korrekt sind. Andere Wissenschaftler versuchen, dieses Thema zu behandeln, indem sie quasi-objektive Regeln wie Chauvenet's Criterion verwenden. Noch andere, oft falsch, werfen alle Daten aus, die falsch erscheinen. In diesem Abschnitt werden einige Prinzipien und Richtlinien vorgestellt, weitere Informationen finden sich in vielen Referenzen. Zuerst stellen wir fest, dass es falsch ist, zu erwarten, dass jede Messung innerhalb von Fehlern überlappt. Wenn zum Beispiel der Fehler in einer bestimmten Menge durch die Standardabweichung gekennzeichnet ist, erwarten wir nur, dass 68 der Messungen von einer normal verteilten Population innerhalb einer Standardabweichung des Mittelwerts liegen. Fünfundneunzig Prozent der Messungen werden innerhalb von zwei Standardabweichungen, 99 innerhalb von drei Standardabweichungen usw. liegen. Wir erwarten jedoch nicht, dass 100 der Messungen innerhalb eines endlichen Fehlers für eine wirklich Gaußsche Verteilung überlappen. Natürlich ist für die meisten Experimente die Annahme einer Gaußschen Verteilung nur eine Annäherung. Wenn der Fehler bei jeder Messung als Lesefehler gilt, dann erwarten wir nur die meisten, nicht alle, die Messungen, um sich innerhalb von Fehlern zu überlappen. In diesem Fall ist die Bedeutung der meisten aber vage und hängt vom Optimismus des Konservators des Experimentators ab, der den Fehler belegt hat. So ist es immer gefährlich, eine Messung zu werfen. Vielleicht sind wir unglücklich genug, um eine gültige Messung zu machen, die zehn Standardabweichungen von der Bevölkerung bedeutet. Eine gültige Messung von den Schwänzen der zugrunde liegenden Verteilung sollte nicht herausgeworfen werden. Es ist noch gefährlicher, einen verdächtigen Punkt zu werfen, der auf einen zugrundeliegenden physikalischen Prozess hinweist. Sehr wenig Wissenschaft wäre heute bekannt, wenn der Experimentator immer Messungen aussortiert, die nicht mit vorgefaßten Erwartungen übereinstimmen. Im Allgemeinen gibt es zwei verschiedene Arten von experimentellen Daten, die in einem Laboratorium aufgenommen wurden, und die Frage der Ablehnung von Messungen wird auf unterschiedliche Weise für jeden gehandhabt. Die beiden Arten von Daten sind die folgenden: 1. Eine Reihe von Messungen, die mit einer oder mehreren Variablen vorgenommen wurden, wurden für jeden Datenpunkt geändert. Ein Beispiel ist die Kalibrierung eines Thermoelements, bei dem die Ausgangsspannung gemessen wird, wenn das Thermoelement auf einer Anzahl unterschiedlicher Temperaturen liegt. 2. Wiederholte Messungen der gleichen physikalischen Größe, wobei alle Variablen so konstant wie experimentell möglich gehalten werden. Ein Beispiel ist die Messung der Höhe einer Probe von Geranien, die unter identischen Bedingungen aus der gleichen Charge von Saatgut gezüchtet werden. Für eine Reihe von Messungen (Fall 1), wenn einer der Datenpunkte außerhalb der Linie ist, ist die natürliche Tendenz, sie herauszuwerfen. Aber, wie bereits erwähnt, bedeutet dies, dass Sie das Ergebnis annehmen, das Sie zu messen versuchen. Als Faustregel gilt es, es sei denn, es gibt eine physikalische Erklärung dafür, warum der verdächtige Wert falsch ist und es nicht mehr als drei Standardabweichungen vom erwarteten Wert entfernt ist, sollte es wohl gehalten werden. Kapitel 7 befasst sich mit diesem Fall. Bei wiederholten Messungen (Fall 2) ist die Situation ein wenig anders. Sagen Sie, Sie messen die Zeit für ein Pendel, um 20 Schwingungen zu unterziehen und Sie wiederholen die Messung fünfmal. Nehmen wir an, dass vier dieser Versuche innerhalb von 0,1 Sekunden voneinander liegen, aber die fünfte Studie unterscheidet sich von diesen um 1,4 Sekunden (d. h. mehr als drei Standardabweichungen weg von dem Mittelwert der guten Werte). Es gibt keinen vernünftigen Grund, warum sich diese Messung von allen anderen unterscheidet. Dennoch können Sie es rechtfertigen, es herauszuwerfen. Sagen Sie das, unbekannt zu Ihnen, gerade als dieses Maß genommen wurde, eine Schwerkraftwelle durch Ihre Region der Raumzeit gefegt. Allerdings, wenn Sie versuchen, die Periode des Pendels zu messen, wenn es keine Schwerkraft Wellen, die die Messung, dann werfen, dass ein Ergebnis ist vernünftig. (Obwohl versucht, die Messung zu wiederholen, um die Existenz von Schwerkraft Wellen zu finden, wird sicherlich mehr Spaß sein) Also, was auch immer der Grund für einen verdächtigen Wert, die Faustregel ist, dass es herausgeworfen werden kann, vorausgesetzt, dass Tatsache gut dokumentiert ist und dass die Messung Wird wiederholt mehrmals wiederholt, um den Experimentator zu überzeugen, dass er nicht ein wichtiges Datenelement, das einen neuen physikalischen Prozess anzeigt, ausstößt. 3.3 Ausbreitung von Fehlern der Präzision 3.3.1 Diskussion und Beispiele In der Regel sind Fehler der Präzision probabilistisch. Dies bedeutet, dass der Experimentator sagt, dass der tatsächliche Wert eines Parameters wahrscheinlich innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt. Wenn zum Beispiel die Halbwertsbreite des Bereichs gleich einer Standardabweichung ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit etwa 68, daß bei wiederholtem Experimentieren der wahre Mittelwert in den Bereich fällt, wenn die Halbwertsbreite des Bereichs doppelt so hoch ist wie die Standardabweichung, die Wahrscheinlichkeit Ist 95, etc. Wenn wir zwei Variablen haben, sagen wir x und y. Und wollen sie zu einer neuen Variable zu kombinieren, wollen wir den Fehler in der Kombination, um diese Wahrscheinlichkeit zu bewahren. Das richtige Verfahren, um dies zu tun, besteht darin, Fehler in Quadratur zu kombinieren, die die Quadratwurzel der Summe der Quadrate ist. EDA liefert eine Quadraturfunktion. Für einfache Kombinationen von Daten mit zufälligen Fehlern kann die korrekte Vorgehensweise in drei Regeln zusammengefasst werden. X, y, z steht für die Fehler der Präzision in x. Y Und z. beziehungsweise. Wir nehmen an, dass x und y unabhängig voneinander sind. Beachten Sie, dass alle drei Regeln davon ausgehen, dass der Fehler, sagen wir x. Ist klein im Vergleich zum Wert von x. Regel 1: Multiplikation und Division EDA beinhaltet Funktionen, um Daten mit den obigen Regeln zu kombinieren. Sie heißen TimesWithError. PlusWithError. DivideWithError. SubtractWithError. Und PowerWithError. Stellen Sie sich vor, wir haben Druckdaten, gemessen in Zentimeter Hg, und Volumenangaben in beliebigen Einheiten gemessen. Jeder Datenpunkt besteht aus Wert. Fehlerpaare Wir berechnen die Druckzeiten der Lautstärke. Im obigen wurden die Werte von p und v multipliziert und die Fehler sind nach Regel 1 zusammengefasst. Für diese Berechnung gibt es eine gleichwertige Form. Betrachten Sie die erste der Datenträgerdaten:. Der Fehler bedeutet, dass der wahre Wert vom Experimentator voraussichtlich zwischen 11,25 und 11,31 liegen wird. So sind alle signifikanten Zahlen, die dem Recht von 11.28 für diesen Datenpunkt vorgestellt wurden, sehr wichtig. Die Funktion AdjustSignificantFigures wird die Volumendaten anpassen. Beachten Sie, dass AdjustSignificantFigures standardmäßig die beiden wichtigsten Ziffern im Fehler zur Anpassung der Werte verwendet. Dies kann mit der Option ErrorDigits gesteuert werden. In den meisten Fällen ist die Voreinstellung von zwei Ziffern sinnvoll. Wie in Abschnitt 3.2.1 diskutiert, wenn wir eine Normalverteilung für die Daten annehmen, hängt der Bruchfehler bei der Bestimmung der Standardabweichung von der Anzahl der bei der Berechnung verwendeten Datenpunkte ab. Und kann wie folgt geschrieben werden. Wenn man dies als eine allgemeine Faustregel für alle Präzisionsfehler verwendet, ist die Schätzung des Fehlers nur gut bis 10, (d. h. eine signifikante Figur, wenn n nicht größer als 51 ist). Nichtsdestotrotz behalten zwei signifikante Zahlen Fälle wie 0.035 gegen 0.030, wo eine gewisse Bedeutung der endgültigen Ziffer beigefügt werden kann. Sie sollten sich bewusst sein, dass, wenn ein Datum von AdjustSignificantFigures massiert wird. Die zusätzlichen Ziffern werden gelöscht. Standardmäßig verwenden TimesWithError und die anderen WithError-Funktionen die Funktion AdjustSignificantFigures. Die Verwendung von AdjustSignificantFigures wird mit der Option UseSignificantFigures gesteuert. Die Anzahl der Ziffern kann eingestellt werden. Um eine Macht zu bilden, sagen wir, wir könnten versucht sein, einfach nur zu tun Der Grund, warum dies falsch ist, dass wir davon ausgehen, dass die Fehler in den beiden zu kombinierenden Größen unabhängig voneinander sind. Hier gibt es nur eine Variable. Das richtige Verfahren hier ist gegeben durch Regel 3, wie bereits erwähnt, die wir umschreiben. Dies ist in der PowerWithError-Funktion implementiert. Schließlich stellen wir uns vor, dass wir aus irgendeinem Grund eine Kombination bilden wollen. Wir könnten versucht sein, dies mit dem folgenden zu lösen. Auch dies ist falsch, weil die beiden Begriffe in der Subtraktion nicht unabhängig sind. In der Tat, die allgemeine Regel ist, dass wenn dann der Fehler ist hier ist ein Beispiel Lösung von pv - 4.9v. Wir verwenden x und y unten, um ein Überschreiben der Symbole p und v zu vermeiden. Zuerst berechnen wir die Gesamtableitung. Als nächstes bilden wir den Fehler. Jetzt können wir mit den Druck - und Volumendaten auswerten, um eine Fehlerliste zu erhalten. Als nächstes bilden wir die Liste der Paare. Die Funktion CombineWithError kombiniert diese Schritte mit einer standardmäßigen signifikanten Bildanpassung. Die Funktion kann anstelle der anderen WithError-Funktionen verwendet werden, die oben diskutiert wurden. In diesem Beispiel wird die TimesWithError-Funktion etwas schneller sein. Es gibt eine Einschränkung bei der Verwendung von CombineWithError. Der Ausdruck muss nur Symbole, numerische Konstanten und arithmetische Operationen enthalten. Andernfalls ist die Funktion nicht in der Lage, die Ableitungen des Ausdrucks zu nehmen, der notwendig ist, um die Form des Fehlers zu berechnen. Die anderen WithError-Funktionen haben keine solche Einschränkung. 3.3.1.1 Ein weiterer Ansatz zur Fehlerausbreitung: Die Daten - und Datumskonstrukte EDA bietet einen weiteren Mechanismus zur Fehlerausbreitung. Durch das Deklarieren von Listen von Paaren vom Typ Daten. Die Ausbreitung von Fehlern erfolgt automatisch. Der Data Wrapper kann entfernt werden. Der Grund, warum die Ausgabe der vorherigen zwei Befehle als OutputForm formatiert wurde, ist, dass EDA die Paare mit Plusmn für StandardForm-Ausgabe spezifiziert. Ein ähnliches Datumskonstrukt kann mit einzelnen Datenpunkten verwendet werden. Genauso wie für Daten. Der StandardForm-Satz von Datum verwendet plusmn. Die Daten - und Datumskonstrukte liefern eine automatische Fehlerausbreitung für Multiplikation, Division, Addition, Subtraktion und Anhebung einer Leistung. Ein weiterer Vorteil dieser Konstrukte ist, dass die Regeln, die in EDA eingebaut sind, wissen, wie man Daten mit Konstanten kombiniert. Die Regeln wissen auch, wie man Fehler für viele transzendentale Funktionen propagiert. Diese Regel geht davon aus, dass der Fehler relativ zum Wert klein ist, so dass wir uns annähern können. Die transzendentalen Funktionen, die Daten - oder Datumsargumente akzeptieren können, sind durch DataFunctions gegeben. Wir haben gesehen, dass EDA die Daten - und Datumskonstrukte mit plusmn setzt. Die PlusMinus-Funktion kann direkt verwendet werden, und sofern ihre Argumente numerisch sind, werden Fehler weitergegeben. Man kann das Plusmn in den Eingabeausdruck einfügen und Fehler werden wieder propagiert. Der Plusmn-Eingabemechanismus kann Begriffe durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Erhöhung einer Leistung, Addition und Multiplikation mit einer konstanten Zahl und Verwendung der DataFunctions kombinieren. Die Regeln, die von EDA für Plusmn verwendet werden, sind nur für numerische Argumente. Dies macht PlusMinus anders als Datum. 3.3.1.2 Warum Quadratur Hier rechtfertigen wir die Kombination von Fehlern in Quadratur. Obwohl sie keine Beweise im üblichen ursprünglichen mathematischen Sinne sind, sind sie richtig und können auf Wunsch rigoros gemacht werden. Zuerst können Sie bereits über das Random-Walk-Problem wissen, in dem ein Spieler am Punkt x 0 beginnt und bei jedem Zug entweder vorwärts (in Richtung x) oder rückwärts (in Richtung - x) geht. Die Wahl der Richtung wird zufällig für jede Bewegung von, sagen wir, eine Münze umkreisen. Wenn jeder Schritt eine Distanz L abdeckt. Dann nach n Schritten kann der erwartete wahrscheinlichste Abstand des Spielers aus dem Ursprung gezeigt werden. So geht der Abstand als Quadratwurzel der Anzahl der Stufen hinauf. Betrachten wir nun eine Situation, in der n Messungen einer Größe x durchgeführt werden, jeweils mit einem identischen Zufallsfehler x. Wir finden die Summe der Messungen. Aber die Summe der Fehler ist dem zufälligen Spaziergang sehr ähnlich: obwohl jeder Fehler die Größe x hat. Es ist gleichermaßen gleich x als - x. Und das ist im Wesentlichen zufällig. So steigt der erwartete wahrscheinlichste Fehler in der Summe als Quadratwurzel der Anzahl der Messungen an. This is exactly the result obtained by combining the errors in quadrature. Another similar way of thinking about the errors is that in an abstract linear error space, the errors span the space. If the errors are probabilistic and uncorrelated, the errors in fact are linearly independent (orthogonal) and thus form a basis for the space. Thus, we would expect that to add these independent random errors, we would have to use Pythagoras theorem, which is just combining them in quadrature. 3.3.2 Finding the Error in an Average The rules for propagation of errors, discussed in Section 3.3.1, allow one to find the error in an average or mean of a number of repeated measurements. Recall that to compute the average, first the sum of all the measurements is found, and the rule for addition of quantities allows the computation of the error in the sum. Next, the sum is divided by the number of measurements, and the rule for division of quantities allows the calculation of the error in the result ( i. e., the error of the mean). In the case that the error in each measurement has the same value, the result of applying these rules for propagation of errors can be summarized as a theorem. Theorem: If the measurement of a random variable x is repeated n times, and the random variable has standard deviation errx. then the standard deviation in the mean is errx . Proof: One makes n measurements, each with error errx . We calculate the sum. sumx x1 x2 . xn We calculate the error in the sum. This last line is the key: by repeating the measurements n times, the error in the sum only goes up as Sqrt n . The mean is given by the following. Applying the rule for division we get the following. This may be rewritten. This completes the proof. The quantity called is usually called the standard error of the sample mean (or the standard deviation of the sample mean). The theorem shows that repeating a measurement four times reduces the error by one-half, but to reduce the error by one-quarter the measurement must be repeated 16 times. Here is an example. In Section 3.2.1, 10 measurements of the diameter of a small cylinder were discussed. The mean of the measurements was 1.6514 cm and the standard deviation was 0.00185 cm. Now we can calculate the mean and its error, adjusted for significant figures. Note that presenting this result without significant figure adjustment makes no sense. The above number implies that there is meaning in the one-hundred-millionth part of a centimeter. Here is another example. Imagine you are weighing an object on a dial balance in which you turn a dial until the pointer balances, and then read the mass from the marking on the dial. You find m 26.10 plusmn 0.01 g. The 0.01 g is the reading error of the balance, and is about as good as you can read that particular piece of equipment. You remove the mass from the balance, put it back on, weigh it again, and get m 26.10 plusmn 0.01 g. You get a friend to try it and she gets the same result. You get another friend to weigh the mass and he also gets m 26.10 plusmn 0.01 g. So you have four measurements of the mass of the body, each with an identical result. Do you think the theorem applies in this case If yes, you would quote m 26.100 plusmn 0.01 Sqrt 4 26.100 plusmn 0.005 g. How about if you went out on the street and started bringing strangers in to repeat the measurement, each and every one of whom got m 26.10 plusmn 0.01 g. So after a few weeks, you have 10,000 identical measurements. Would the error in the mass, as measured on that 50 balance, really be the following The point is that these rules of statistics are only a rough guide and in a situation like this example where they probably dont apply, dont be afraid to ignore them and use your uncommon sense. In this example, presenting your result as m 26.10 plusmn 0.01 g is probably the reasonable thing to do. 3.4 Calibration, Accuracy, and Systematic Errors In Section 3.1.2, we made the distinction between errors of precision and accuracy by imagining that we had performed a timing measurement with a very precise pendulum clock, but had set its length wrong, leading to an inaccurate result. Here we discuss these types of errors of accuracy. To get some insight into how such a wrong length can arise, you may wish to try comparing the scales of two rulers made by different companies mdash discrepancies of 3 mm across 30 cm are common If we have access to a ruler we trust ( i. e., a calibration standard), we can use it to calibrate another ruler. One reasonable way to use the calibration is that if our instrument measures xO and the standard records xS . then we can multiply all readings of our instrument by xS xO . Since the correction is usually very small, it will practically never affect the error of precision, which is also small. Calibration standards are, almost by definition, too delicate andor expensive to use for direct measurement. Here is an example. We are measuring a voltage using an analog Philips multimeter, model PM240002. The result is 6.50 V, measured on the 10 V scale, and the reading error is decided on as 0.03 V, which is 0.5. Repeating the measurement gives identical results. It is calculated by the experimenter that the effect of the voltmeter on the circuit being measured is less than 0.003 and hence negligible. However, the manufacturer of the instrument only claims an accuracy of 3 of full scale (10 V), which here corresponds to 0.3 V. Now, what this claimed accuracy means is that the manufacturer of the instrument claims to control the tolerances of the components inside the box to the point where the value read on the meter will be within 3 times the scale of the actual value. Furthermore, this is not a random error a given meter will supposedly always read too high or too low when measurements are repeated on the same scale. Thus, repeating measurements will not reduce this error. A further problem with this accuracy is that while most good manufacturers (including Philips) tend to be quite conservative and give trustworthy specifications, there are some manufacturers who have the specifications written by the sales department instead of the engineering department. And even Philips cannot take into account that maybe the last person to use the meter dropped it. Nonetheless, in this case it is probably reasonable to accept the manufacturers claimed accuracy and take the measured voltage to be 6.5 plusmn 0.3 V. If you want or need to know the voltage better than that, there are two alternatives: use a better, more expensive voltmeter to take the measurement or calibrate the existing meter. Using a better voltmeter, of course, gives a better result. Say you used a Fluke 8000A digital multimeter and measured the voltage to be 6.63 V. However, youre still in the same position of having to accept the manufacturers claimed accuracy, in this case (0.1 of reading 1 digit) 0.02 V. To do better than this, you must use an even better voltmeter, which again requires accepting the accuracy of this even better instrument and so on, ad infinitum, until you run out of time, patience, or money. Say we decide instead to calibrate the Philips meter using the Fluke meter as the calibration standard. Such a procedure is usually justified only if a large number of measurements were performed with the Philips meter. Why spend half an hour calibrating the Philips meter for just one measurement when you could use the Fluke meter directly We measure four voltages using both the Philips and the Fluke meter. For the Philips instrument we are not interested in its accuracy, which is why we are calibrating the instrument. So we will use the reading error of the Philips instrument as the error in its measurements and the accuracy of the Fluke instrument as the error in its measurements. We form lists of the results of the measurements. We can examine the differences between the readings either by dividing the Fluke results by the Philips or by subtracting the two values. The second set of numbers is closer to the same value than the first set, so in this case adding a correction to the Philips measurement is perhaps more appropriate than multiplying by a correction. We form a new data set of format philips, cor2 . We can guess, then, that for a Philips measurement of 6.50 V the appropriate correction factor is 0.11 plusmn 0.04 V, where the estimated error is a guess based partly on a fear that the meters inaccuracy may not be as smooth as the four data points indicate. Thus, the corrected Philips reading can be calculated. (You may wish to know that all the numbers in this example are real data and that when the Philips meter read 6.50 V, the Fluke meter measured the voltage to be 6.63 plusmn 0.02 V.) Finally, a further subtlety: Ohms law states that the resistance R is related to the voltage V and the current I across the resistor according to the following equation. Imagine that we are trying to determine an unknown resistance using this law and are using the Philips meter to measure the voltage. Essentially the resistance is the slope of a graph of voltage versus current. If the Philips meter is systematically measuring all voltages too big by, say, 2, that systematic error of accuracy will have no effect on the slope and therefore will have no effect on the determination of the resistance R . So in this case and for this measurement, we may be quite justified in ignoring the inaccuracy of the voltmeter entirely and using the reading error to determine the uncertainty in the determination of R . 3.5 Summary of the Error Propagation Routines
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